Question

在平面四邊形ABCD中，已知AB=3，DC=2，點E，F分別在邊AD，BC上，且

AD

=3

AE

，

BC

=3

BF

．若向量

AB

與

DC

的夾角為60°，則

AB

•

EF

的值為

 

．

Answer 1

分析：設直線AB和DC相交于點H，則由題意可得∠AHD=60°，再令AH=DH=5，則△ADH為等邊三角形．△HBC中，由余弦定理求得BC和cos∠HBC=cosθ 的值，可得AE、BF的值，再根據 

AB

•

EF

=

AB

•（

EA

+

AB

+

BF

）=

AB

•

EA

+

AB

2+

AB

•

BF

，利用兩個向量的數量積的定義計算求得結果．

解答：解：如圖所示：設直線AB和DC相交于點H，
則由題意可得∠AHD=60°，
令AH=DH=5，則由AB=3、DC=2，可得HC=3，BH=2，故△ADH為等邊三角形．
△HBC中，由余弦定理求得BC=

BH2+HC2-2HC•BH•cos60°

=

7

，
AE=

1

3

AD=

5

3

，BF=

1

3

BC=

7

3

．
∴cos∠HBC=cosθ=

BH2+BC2-HC2

2BH•BC

=

7

14

，
∴

AB

•

EF

=

AB

•（

EA

+

AB

+

BF

）=

AB

•

EA

+

AB

2+

AB

•

BF

=3×

5

3

×cos120°+9+3×

7

3

×cosθ
=-

5

2

+9+

1

2

=7，
故答案為：7．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，余弦定理的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．