Question

【題目】如圖，三棱柱中， 平面， 分別為和的中點(diǎn)， 是邊長(zhǎng)為2 的正三角形， .

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）取AB的中點(diǎn)H，連接HM，CH，證明四邊形CDMH是平行四邊形得出DM∥CH，從而有DM∥平面ABC；

（2）取BB1中點(diǎn)E，以E為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求出兩半平面的法向量，計(jì)算法向量的夾角即可得出二面角的大小．

試題解析：（1）證明:取的中點(diǎn)，連接，

∵分別為和的中點(diǎn)，

∴， ，∴， ，

則四邊形是平行四邊形，則.

∵平面， 平面，∴平面；

（2）取中點(diǎn)，∵為等邊三角形， ∴.

又平面， ，∴平面，

建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別為軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:

則 ， ，

則設(shè)平面的法向量為， ， ，

則，即

令，則，即，

平面的法向量為， ， ，

則，得，即，

令，則，即，

則 ，

即二面角的余弦值是.