Question

【題目】在直角坐標系中，橢圓的中心在原點，焦點在軸上，且過點，若的兩焦點與其中一個頂點能構成一個等邊三角形.

（1）求的方程.

（2）已知過的兩條直線，（斜率都存在）與的右半部分（軸右側）分別相交于，兩點，且的面積為，試判斷，的斜率之積是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用已知條件列出方程組，求出a，b，即可得到橢圓方程．

（2）設，的斜率分別為，.聯立直線OA與橢圓方程，求得及點到直線的距離，表示出的面積，平方化簡后得到關于，的二次方程，解得.

（1）由題意可知，即，

又，得.

把代入的方程得，又，解得，

從而，，故的方程為.

（2）設，，，的斜率分別為，.

聯立方程組，得，

同理得，

則 .

因為點到直線的距離，

所以的面積為 ，

則 ，

整理得，

即，故，的斜率之積為定值，且定值為.