Question

設a、b、c是互不相等的正數，則下列不等式中不恒成立的是（　　）

• A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|
• B．a2+

  1

  a2

  ≥a+

  1

  a

• C．

  a+3

  -

  a+1

  ＜

  a+2

  -

  a

• D．|a-b|+

  1

  a-b

  ≥2

Answer 1

分析：本題主要考查不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全題干，必須結合選擇支，才能得出正確的結論．可運用排除法．

解答：解：A：|a-b|=|a-c+c-b|≤|a-c|+|c-b|=|a-c|+|b-c|，故A恒成立
B：由于由于函數f（x）=x+

1

x

在（0，1]單調遞減，在[1，+∞）單調遞增
當a＞1時，a²＞a＞1，f（a²）＞f（a）即，a²+

2

a2

＞a+

1

a

，
當0＜a＜1，0＜a²＜a＜1，f（a²）＞f（a）即a²+

2

a2

＞a+

1

a

，
當a=1，a²+

2

a2

=a+

1

a

．
故B恒成立；
C：由于

a+3

-

a+1

=

2

a+3 + a+1

＜

2

a+2 + a

=

a+2

-

a

．故C恒成立；
D：若a-b=-1，則該不等式不成立，故B不恒成立
故選D．

點評：本題主要考查了不等式比較大小，基本不等式的應用放縮法證明不等式等．要靈活運用公式，牢記公式a²+b²≥2ab成立的條件．