Question

如圖，梯形ABCD中，CD∥AB，AD=DC=CB=AB，E是AB的中點，將△ADE沿DE折起，使點A折到點P的位置，且二面角P-DE-C的大小為120°．

(Ⅰ)求證：DE∥平面PBC；

(Ⅱ)求證：DE⊥PC；

(Ⅲ)求直線PD與平面BCDE所成角的正弦值．

Answer 1

證明：(Ⅰ)∵E是AB的中點，∴BE=AB，

又∵CD∥AB，DC=AB，∴DC∥EB且DC=EB，

∴四邊形DCBE是平行四邊形，∴ED∥BC．

∵DE面PBC，BE面PBC，∴DE∥平面PBC．

(Ⅱ)連接EC，據(Ⅰ)知，CD∥AE且CD=AE，

∴四邊形ADCE為平行四邊形，

又AD=DC,∴四邊形ADCE是菱形．

連接AC交DE于F，連接PF，

則DE⊥AC，DE⊥PF，

∵AC∩PF=F，∴DE⊥平面PFC，

又∵PC平面PFC，∴DE⊥PC．

(Ⅲ)∵DE⊥平面PFC，DE平面BCDE,

∴平面PFC⊥平面BCDE，且兩平面交于AC．

過點P作PH⊥AC于H，則PH⊥平面BCDE，連接DH，則DH為PD在平面BCDE上的射影，∴∠PDH就是直線PD與平面BCDE所成的角．

由(Ⅱ)知，∠PFC就是二面角P-DE-C的平面角，

∴∠PFC=120°，∴∠PFA=60°．

設AD=AE=BC=DE=a，則AF=PF=a，

在Rt△PHF中，PH=PF·sin60°=a.

∴在Rt△PHD中， sin∠PDH=．