Question

【題目】如圖l，在正方形ABCD中，AB=2，E是AB邊的中點，F是BC邊上的一點，對角線AC分別交DE、DF于M、N兩點．將ADAE，CDCF折起，使A、C重合于A點，構成如圖2所示的幾何體．
（I）求證：A′D⊥面A′EF；
（Ⅱ）試探究：在圖1中，F在什么位置時，能使折起后的幾何體中EF∥平面AMN，并給出證明．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又A′E∩A′F=A′，A′E面A′EF，A′F面A′EF，
∴A′D⊥面A′EF．
（Ⅱ）當點F為BC的中點時，EF∥面A′MN．
證明如下：當點F為BC的中點時，
在圖（1）中，E，F分別是AB，BC的中點，
所以EF∥AC，
即在圖（2）中有EF∥MN．
又EF面A′MN，MN面A′MN，
所以EF∥面A′MN．
【解析】（Ⅰ）由題意可得，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F=A′，利用線面垂直的判定定理即可證得結論；
（Ⅱ）當點F為BC的中點時，EF∥面A′MN．在圖（1）中，E，F分別是AB，BC的中點，可得EF∥AC，而M∈AC，N∈AC，從而可得EF∥MN，繼而有EF∥平面AMN．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．