Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以O(shè)為圓心的圓與直線l：y=mx+（3-4m）恒有公共點(diǎn)，且要求使圓O的面積最小．
（1）寫出圓O的方程；
（2）圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P使|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比數(shù)列，求

PA

•

PB

的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知直線必過定點(diǎn)，而要使面積最小則定點(diǎn)一定在圓上，此時(shí)易求出圓的方程；
（2）根據(jù)圓與x軸相交，求出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P在圓內(nèi)以及由使|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比數(shù)列分別求出一個(gè)關(guān)系式，兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立即可求出y₀²的取值范圍，最終判斷出

PA

•

PB

的取值范圍

解答：解：（1）∵直線方程為y=mx+（3-4m）
∴易得l過定點(diǎn)T（4，3）
由題意，要使圓O的面積最小，定點(diǎn)T（4，3）在圓上
∴圓O的方程為：x²+y²=25
（2）∵圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)
故A（-5，0） B（5，0）
設(shè)P（x₀，y₀）為圓內(nèi)任意一點(diǎn)
故：x₀²+y₀²＜25            ①

PA

=(-5-x0，-y0)，

PB

=(5-x0，-y0)
由使|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比數(shù)列得：
|

PO

|2=|

PA

|•

|PB|

∴x₀²+y₀²=

(x0+5)2+y02

•

(x0-5)2+y02

整理得：x₀²-y₀²=

25

2

         ②
由①②得：
0≤y₀²≤

25

4

PA

• 

PB

=（x₀²-25）+y₀²=2y₀²-

25

2

∴

PA

•

PB

∈[-

25

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的取值范圍問題，涉及到直線與圓的位置關(guān)系，以及等比數(shù)列問題．通過圓內(nèi)任意點(diǎn)坐標(biāo)滿足的兩個(gè)關(guān)系最終確定向量的取值范圍，屬于難題．