Question

某個凸多面體有32個面，各面是三角形或五邊形，每個頂點處的棱數都相等，則這個凸多
面體的頂點數可以是
（A）60          （B）45             （C）30           （D）15

Answer 1

C

設這個凸多面體有n個面是三角形，則是五邊形的面有32－n個，此時總棱數
條．
由歐拉定理可知，V＋32－E＝2，
∴V＝50－n．
又設每個頂點處的棱數為m條(其中3≤m≤5且m∈N*)，由于每個頂點處的棱數都相等，則總棱數條，由歐拉定理可知，，
∴50－n＝(其中3≤m≤5且m∈N*)．然后討論這個不定方程的自然數解：
當m＝3時，可得n＝－10，不合題意，舍去；
當m＝4時，可得n＝20，∴V＝30；
當m＝5時，可得n＝30，∴V＝20．