Question

【題目】(2015·湖北）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.
在如圖所示的陽馬P-ABCD中，側棱PD底面ABCD,且PD=CD,點E是BC的中點，連接DE,BD,BE
(I)證明：DE底面PBC，試判斷四面體EBCD是否為鱉臑. 若是，寫出其四個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解答；（Ⅱ）
【解析】 （Ⅰ）因為底面 ， 所以. 由底面為長方形，有 ， 而,所以平面. 平面 ， 所以. 又因為 ， 點是的中點，所以. 而 ， 所以平面.由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別是.
（Ⅱ）由已知，是陽馬的高，所以;由（Ⅰ）知，是鱉臑的高，,所以.在中，因為,點是的中心，所以,于是.

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想，以及對直線與平面垂直的性質的理解，了解垂直于同一個平面的兩條直線平行．