Question

（2012•江蘇）已知正數(shù)a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，則

b

a

的取值范圍是

[e，7]

．

Answer 1

分析：由題意可求得

1

4

≤

c

a

≤2，而5×

c

a

-3≤

b

a

≤4×

c

a

-1，于是可得

b

a

≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln

b

c

，從而

b

a

≥

b c

ln b c

，設(shè)函數(shù)f（x）=

x

lnx

（x＞1），利用其導(dǎo)數(shù)可求得f（x）的極小值，也就是

b

a

的最小值，于是問題解決．

解答：解：∵4c-a≥b＞0
∴

c

a

＞

1

4

，
∵5c-3a≤4c-a，
∴

c

a

≤2．
從而

b

a

≤2×4-1=7，特別當(dāng)

b

a

=7時，第二個不等式成立．等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a：b：c=1：7：2．
又clnb≥a+clnc，
∴0＜a≤cln

b

c

，
從而

b

a

≥

b c

ln b c

，設(shè)函數(shù)f（x）=

x

lnx

（x＞1），
∵f′（x）=

lnx-1

(lnx)2

，當(dāng)0＜x＜e時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞e時，f′（x）＞0，當(dāng)x=e時，f′（x）=0，
∴當(dāng)x=e時，f（x）取到極小值，也是最小值．
∴f（x）_min=f（e）=

e

lne

=e．
等號當(dāng)且僅當(dāng)

b

c

=e，

b

a

=e成立．代入第一個不等式知：2≤

b

a

=e≤3，不等式成立，從而e可以取得．等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a：b：c=1：e：1．
從而

b

a

的取值范圍是[e，7]雙閉區(qū)間．

點(diǎn)評：本題考查不等式的綜合應(yīng)用，得到

b

a

≥

b c

ln b c

，通過構(gòu)造函數(shù)求

b

a

的最小值是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查分析與轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)解決問題的能力，屬于難題．