Question

【題目】如圖，正方形和梯形所在的平面互相垂直，，，與交于點，，分別為線段，的中點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）若，求證：平面平面．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

（Ⅰ）推導出AC⊥BD，從而AC⊥平面BDEF，由此能證明AC⊥BF；

（Ⅱ）法一：取AD中點M，連接ME，MG，則GM∥BD且，從而GM∥EF且GM＝EF，進而四邊形GMEF為平行四邊形，從而GF∥ME，由此能證明GF∥平面ADE；

法二：連接OF，OG，推導出四邊形DOFE為平行四邊形，從而OF∥DE，進而OF∥平面ADE，由O，G分別為BD，AB的中點，得OG∥AD，從而OG∥平面ADE，進而平面GOF∥平面ADE，由此能證明GF∥平面ADE；

（Ⅲ）連接OH，則OH∥DF，由DF⊥BF，得OH⊥BF，再由BF⊥AC，得BF⊥平面AHC，由此能證明平面AHC⊥平面BGF．

解：（Ⅰ）因為為正方形，所以．又因為平面平面，

平面平面，

所以平面．又因為平面，

所以．

（Ⅱ）方法一：取中點，連接，，

在中，，分別為，的中點，

所以且．又因為且，

所以且.所以四邊形為平行四邊形.

所以.因為平面，

平面，所以平面．

方法二：連接，，

因為且，

所以且.

所以四邊形為平行四邊形．所以．

因為平面，

平面，

所以平面．因為，分別為，的中點，

所以．又因為平面，平面，

所以平面．因為，

所以平面平面．因為平面，

所以平面．

（Ⅲ）連接，

在中，，分別為，的中點，

所以.因為，

所以.因為，

，

平面，平面，

所以平面.因為平面，

所以平面 平面．