Question

已知數列，滿足，，
（1）求的值；
（2）猜想數列 的通項公式，并用數學歸納法證明；
（3）己知，設，記，求．

Answer 1

（1）；；（2），證明見解析；（3）3．.

試題分析：（1）這屬于已知數列的遞推關系式，求數列的項的問題，我們只要在已知遞推關系式中依次令就可以依次求出；（2）用歸納法歸納數列的通項公式，我們可以由數列的前幾項想象各項與項數之間的聯系，如，，，，從而歸納出結論，然后數學歸納法證明，這里數學歸納法的基礎即第一步已經不需另證了，關鍵是第二步，假設時，，然后由已知條件求出，那么結論就是正確的；（3）按常規方法，先求，，接著求數列的前項和，根據其通項公式的形式（它是一個等差數列所一個等比數列對應項相乘所得），求和用乘公比經錯位相減法，求得，然后借助已知極限可求出極限.
試題解析：(1)，
∴．
，分別令，可得
，
(2)猜想數列的通項公式為.用數學歸納法證明如下：
證明 (i)當時，由(1)知結論成立；當時，,結論成立.
(ii)假設時，結論成立，即.
當時，
.
所以，，即時，結論也成立.
根據(i)和(ii)可以斷定，結論對一切正整數都成立.
(3)由(2)知，，． 于是，

，
．
所以，．