Question

如圖，正方形所在平面與圓所在平面相交于，線段為圓的弦，垂直于圓所在平面，垂足是圓上異于、的點，，圓的直徑為9。

（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的平面角的正切值。

Answer 1

（1)證明見解析 （2）二面角的平面角的正切值為。

本試題主要是考查了立體幾何中面面垂直的判定和二面角的求解的綜合運用。
（1）要證明面面垂直，只要證明線面垂直，再結合面面垂直的判定定理得到結論。
（2）合理的建立空間直角坐標系，然后求解得到平面的法向量和法向量，運用向量的夾角公式得到二面角的平面角的求解。
（1)證明：∵垂直于圓所在平面，在圓所在平面上，
∴。
在正方形中，，
∵，∴平面．∵平面，
∴平面平面。 ……………………………………………6分
（2）解法1：

∵平面，平面，
∴。
∴為圓的直徑，即．
設正方形的邊長為，
在△中，，
在△中，，
由，解得，。 ∴。
過點作于點，作交于點，連結，
由于平面，平面，∴。∵，
∴平面。∵平面，
∴。∵，，
∴平面。∵平面，∴。
∴是二面角的平面角。…………………………………10分
在△中，，，，
∵，∴。
在△中，，∴。
故二面角的平面角的正切值為。 …………………………12分
解法2：∵平面，平面，
∴。∴為圓的直徑，即。
設正方形的邊長為，在△中，
，
在△中，，
由，解得，。∴。
以為坐標原點，分別以、所在的直線為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，
， 。……………8分
設平面的法向量為，
則即
取，則是平面的一個法向量。…………9分
設平面的法向量為，則即
取，則是平面的一個法向量。…………10分
,.
∴
故二面角的平面角的正切值為