Question

（1）若，求的最大值。
（2）為何值時，直線和曲線有兩個公共點。

Answer 1

（1）；（2）點P的坐標(biāo)為；
（3）當(dāng)時，d取最小值。

試題分析： （1）根據(jù)已知條件，結(jié)合一正二定，三相等的思想來求解最值。
（2）聯(lián)立方程組，根據(jù)得到的方程的解的個數(shù)得到結(jié)論。
（1）已知雙曲線實半軸a₁=4，虛半軸b₁=2，半焦距c₁=，
∴橢圓的長半軸a₂=c₁=6，橢圓的半焦距c₂=a₁=4，橢圓的短半軸=，
∴所求的橢圓方程為                   …………4分
（2）由已知,，設(shè)點P的坐標(biāo)為，則
由已知得
             …………6分
則，解之得，       
由于y>0，所以只能取，于是，所以點P的坐標(biāo)為……8分
（3）直線，設(shè)點M是，則點M到直線AP的距離是，于是，
又∵點M在橢圓的長軸上，即         …………10分
∴當(dāng)時，橢圓上的點到的距離
   
又  ∴當(dāng)時，d取最小值         …………12分
點評：解決該試題的關(guān)鍵是能根據(jù)題中的條件，得到均值不等式的結(jié)構(gòu)，求解最值也可以通過二次函數(shù)的性質(zhì)來求解最值，同時要對于直線與雙曲線的位置關(guān)系，通過聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)換為方程的解的問題來得到。