Question

已知f（x）=ax²-blnx+2x（a＞0，b＞0）在區間(

1

2

，1)上不單調，則

3b-2

3a+2

的取值范圍是（　　）

• A．[

  1

  2

  ，2]
• B．(

  1

  2

  ，2)
• C．(-

  1

  2

  ，+∞)
• D．（2，+∞）

Answer 1

分析：求出原函數的導函數，由原函數區間(

1

2

，1)上不單調，得到關于a，b的不等式組，作出可行域，然后利用

3b-2

3a+2

的幾何意義求其范圍．

解答：解：由f（x）=ax²-blnx+2x，得f′(x)=2ax-

b

x

+2=

2ax2+2x-b

x

．
令g（x）=2ax²+2x-b，
因為f（x）=ax²-blnx+2x（a＞0，b＞0）在區間(

1

2

，1)上不單調，
所以在區間(

1

2

，1)上，存在x使得f^′（x）=0，且x不是方程2ax²+2x-b=0的二重根．
即函數g（x）=2ax²+2x-b在區間(

1

2

，1)上有零點，且零點兩側的函數值異號．
又其對稱軸方程為x=-

1

2a

＜0，則

g( 1 2 )= a 2 -b+1＜0 g(1)=2a-b+2＞0

．
其可行域如圖，

而

3b-2

3a+2

=

b- 2 3

a+ 2 3

，幾何意義為可行域內的動點與定點A(-

2

3

，

2

3

)連線的斜率的范圍，
由圖可知范圍為(

1

2

，2)．
故選B．

點評：本題考查了函數的單調性與導數的關系，考查了簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法及數學轉化思想方法，解答的關鍵是由題意列出關于a，b的不等式組，是中檔題．