Question

【題目】設(shè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線過點(diǎn)，過作拋物線的動弦， ，并設(shè)它們的斜率分別為， .

(Ⅰ)求拋物線的方程；

(Ⅱ)若，求證：直線的斜率為定值，并求出其值；

（III）若，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出其坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見解析（III）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）先利用焦點(diǎn)在軸上設(shè)出拋物線的方程，再代點(diǎn)進(jìn)行求解；（Ⅱ）在拋物線上設(shè)點(diǎn),利用斜率公式求相關(guān)直線的斜率，利用斜率和為0求出等量關(guān)系，進(jìn)而可以證明；（III）利用斜率之積為定值得到等量關(guān)系，再寫出直線的點(diǎn)斜式方程，進(jìn)而得到結(jié)論.

試題解析：(Ⅰ)依題意，可設(shè)所求拋物線的方程為,

因拋物線過點(diǎn)，故，拋物線的方程為.

(Ⅱ)設(shè)，則，

同理

,∴， .

，即直線的斜率恒為定值，且值為.

（III），∴，∴.

直線的方程為 ，即.

將代入上式得即為直線的方程，

所以直線恒過定點(diǎn)，命題得證.