Question

(12分)如圖7-15，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，各棱長都等于a,D、E分別是AC₁、BB₁的中點，
（1）求證：DE是異面直線AC₁與BB₁的公垂線段，并求其長度；
（2）求二面角E—AC₁—C的大小；
（3）求點C₁到平面AEC的距離。

Answer 1

（1）過D在面AC₁內(nèi)作FG∥A₁C₁分別交AA₁、CC₁于F、G，則面EFG∥面ABC∥面A₁B₁C₁，
∴△EFG為正三角形，D為FG的中點，ED⊥FG。
連AE， ∵D、E分別為的中點，
∴  。又∵面EFG⊥BB₁，
∴ED⊥BB₁，故DE為AC₁和BB₁的公垂線，計算得DE=a。
（2）∵AC=CC₁，D為AC₁的中點，∴CD⊥AC₁，又由（1）可知，ED⊥AC₁，∴∠CDE為二面角E—AC₁—C的平面角，計算得∠CDE=90°。或由（1）可得DE⊥平面AC₁，∴平面AEC₁⊥平面AC₁，∴二面角E—AC₁—C為90°。
（3）用體積法得點C₁到平面ACE的距離為a。

略