Question

（2011•廣東模擬）已知二次函數．f（x）=x²+（2a-1）x+1-2a
（1）判斷命題：“對于任意的a∈R（R為實數集），方程f（x）=1必有實數根”的真假，并寫出判斷過程
（2）若y=f（x）在區間（-1，0）及(0，

1

2

)內各有一個零點．求實數a的范圍．

Answer 1

分析：（1）“對于任意的a∈R（R為實數集），方程f（x）=1必有實數根”是真命題．依題意：x²+（2a-1）x-2a=0有實根，△=（2a-1）²+8a=（2a+1）²≥0對于任意的a∈R（R為實數集）恒成立，得到f（x）=1必有實根．
（2）依題意：要使y=f（x）在區間（-1，0）及(0，

1

2

)內各有一個零點，只須

f(-1)＞0 f(0)＜0 f( 1 2 )＞0

，由此能求出實數a的范圍．

解答：（本大題12分）
解：（1）“對于任意的a∈R（R為實數集），方程f（x）=1必有實數根”是真命題；…（3分）
依題意：f（x）=1有實根，
即x²+（2a-1）x-2a=0有實根
∵△=（2a-1）²+8a=（2a+1）²≥0對于任意的a∈R（R為實數集）恒成立
即x²+（2a-1）x-2a=0必有實根，
從而f（x）=1必有實根…（6分）
（2）依題意：要使y=f（x）在區間（-1，0）及(0，

1

2

)內各有一個零點
只須

f(-1)＞0 f(0)＜0 f( 1 2 )＞0

…（9分）
即

3-4a＞0 1-2a＜0 3 4 -a＞0

…（10分）
解得：

1

2

＜a＜

3

4

．（多帶一個等號扣1分）…（12分）

點評：本題考查命題的真假判斷，求實數a的取值范圍，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．