Question

本小題滿分14分）

如圖,已知三棱錐P—ABC中，PA⊥平面ABC，設AB、PB、PC的中點分別為D、E、F，
若過D、E、F的平面與AC交于點G．
（Ⅰ）求證點G是線段AC的中點；
（Ⅱ）判斷四邊形DEFG的形狀，并加以證明；
（Ⅲ）若PA=8，AB=8，BC=6，AC=10，求幾何體BC-DEFG的體積．

Answer 1

DEFG為矩形,

解：（Ⅰ）∵ED∥PA，則PA∥平面DEFG，而PA平面APC，
平面DEFG平面APC=FG，∴PA∥FG，
又F為PC的中點，因此G為AC的中點；……………………4分 
（Ⅱ）∵點E、D分別AB、PB中點，則∴ED∥PA，且EDPA，
同理FG∥PA，且FGPA，∴ED∥FG，且ED=FG，
∴DEFG為平行四邊形，由于PA⊥平面ABC，而 ED∥PA，
∴ED⊥平面ABC，∴ED⊥DG，因此DEFG為矩形.………………9分 
（Ⅲ）取PA的中點K，連結KE、KF，則多面體PA—DEFG分成
三棱錐P—KEF和三棱柱KEF—ADG，則多面體PA—DEFG的體積為；
多面體BC—DEFG的體積為=；………………… 14分