已知橢圓
的一個焦點為
，過點
且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦長為
；
為橢圓上的四個點。
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)若
，
且
，求四邊形
的面積的最大值和最小值.
(Ⅰ) 
；(Ⅱ) 2，
解析試題分析：(Ⅰ)依題意可得橢圓C的一個焦點為知
，在代入點
即可得得到一個關于
的等式從而可求出的值，即可得橢圓的標準方程.
(Ⅱ) 由于，所以直線
都過F點，從而又因為所以直線
與直線
相互垂直.所以四邊形的面積為
.故關鍵是求出線段
的長度.首先要分類存在垂直于
軸的情況，和不垂直于軸的情況兩種.前者好求.后者通過假設一條直線聯立橢圓方程寫出弦長的式子，類似地寫出另一條所得到的弦長.通過利用基本不等式即可求得面積的范圍.從而再結合垂直于軸的情況，求出最大值與最小值.
試題解析：（Ⅰ）由題橢圓C的一個焦點為知故可設橢圓方程為
，過焦點且與長軸垂直的直線方程為
，設此直線與橢圓交于A,B兩點則
，又
，所以
，又
，聯立求得
，
，故橢圓方程為.
（Ⅱ）由，知，點
共線，點
共線，
即直線經過橢圓焦點。又知，
（i）當斜率為零或不存在時，
（ii）當直線存在且不為零時，可設斜率為
，則由知，的斜率為
所以：直線方程為：
。直線方程為:
將直線方程代入橢圓方程
，消去
并化簡整理可得
，
設
坐標為
，則
，
…………①
從而
，將①代入化簡得
，
將
中換成可得
,
所以
=
.
令
，因為
，所以
，故
，所以
，當且僅當
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓
：
的離心率為 
，點
為其下焦點，點
為坐標原點，過 的直線 
：
（其中
）與橢圓 相交于
兩點，且滿足：
.
（1）試用 
表示 
；
（2）求 的最大值；
（3）若 
，求 
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
的離心率為
且與雙曲線
：
有共同焦點.
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點作的切線
，求與坐標軸圍成的三角形的面積的最小值；
（3）設橢圓的左、右頂點分別為
，過橢圓上的一點
作
軸的垂線交軸于點
，若
點滿足
，
，連結
交
于點
，求證：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
給定橢圓
，稱圓心在坐標原點O，半徑為
的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個焦點分別是
.
（1）若橢圓C上一動點
滿足
，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；
（2）在（1）的條件下，過點
作直線l與橢圓C只有一個交點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為
，求P點的坐標；
（3）已知
，是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點
的直線的最短距離
.若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的中心在原點，焦點在
軸上，長軸長為
，且點
在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）設
是橢圓長軸上的一個動點，過作方向向量
的直線
交橢圓于
、
兩點，求證：
為定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的左、右焦點分別為
，橢圓的離心率為
，且橢圓經過點
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）線段
是橢圓過點
的弦，且
，求
內切圓面積最大時實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點C在l上.
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設過點P，且斜率為－
的直線與曲線M相交于A、B兩點. 問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的離心率為
，直線
與以原點為圓心，以橢圓
的短半軸長為半徑的圓
相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）拋物線
與橢圓
有公共焦點，設與
軸交于點
，不同的兩點
、
在 上（、與不重合），且滿足
，求
的取值范圍.
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,橢圓
以
的長軸為短軸,且與
,求直線
的方程.