Question

【題目】已知函數（kR），且滿足f（﹣1）=f（1）．

（1）求k的值；

（2）若函數y=f（x）的圖象與直線沒有交點，求a的取值范圍；

（3）若函數，x[0，log23]，是否存在實數m使得h（x）最小值為0，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（﹣∞，0]（3）存在m=﹣1得h（x）最小值為0

【解析】

(1)化簡f（﹣1）=f（1）,即得k的值；(2)先化簡方程，再研究函數單調性，最后根據單調性求函數值域即得a的取值范圍； (3)先化簡函數h（x）=4x+m×2x，再換元轉化為二次函數,最后根據二次函數性質求最小值,由最小值為0解得結果.

解：（1）∵f（﹣1）=f（1），

即∴

（2）由題意知方程即方程無解，

令，則函數y=g（x）的圖象與直線y=a無交點

∵

任取x1、x2R，且x1＜x2，則，

∴．∴，

∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是單調減函數．

∵，∴．

∴a的取值范圍是（﹣∞，0]．

（3）由題意h（x）=4x+m×2x，x [0，log23]，

令t=2x [1，3]，φ（t）=t2+mt，t [1，3]，

∵開口向上，對稱軸．

當，，m=﹣1

當，，m=0（舍去）

當，即m＜﹣6，φ（t）min=φ（3）=9+3m=0，m=﹣3（舍去）

∴存在m=﹣1得h（x）最小值為0