Question

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，側棱與底面成銳角α，點B₁在底面上的射影D落在BC邊上．

(1)求證：AC⊥平面BB₁C₁C；

(2)當α為何值時，AB₁⊥BC₁，且使D點恰為BC的中點?并說明理由；

(3)當AB₁⊥BC₁，且D為BC中點時，若BC=2，四棱錐A-BB₁C₁C的體積為，求二面角A-B₁C₁-C的大小．

第19題圖

Answer 1

答案：(1)∵B₁D⊥平面ACB，∴B₁D⊥AC，

∵AC⊥BC，∴AC⊥平面BB₁C₁C.

(2)因為AC⊥平面BB₁C₁C，所以要使AB₁⊥BC₁，只要BC₁⊥B₁C，又BB₁C₁C是平行四邊形，只要BB₁C₁C是菱形，另外要使D為BC中點，因B₁D⊥BC，所以只要三角形B₁BC為等邊三角形即可，即當α=60°時滿足題目要求．

(3)取B₁C₁的中點M，連接AM、MC，如圖所示．因為△C₁B₁C是等邊三角形，所以CM⊥B₁C₁，

第19題圖

由題意知∠AMC是二面角A-B₁C₁-C的平面角，因為四棱錐A-BB₁C₁C的體積為，

所以，·AC·BC·B1D=，即×AC×2×=AC=1，

∴tan∠AMC=∠AMC=30°

即二面角A-B₁C₁-C的大小為30°．