Question

【題目】已知函數，.（為自然對數的底數）

（1）設；

①若函數在處的切線過點，求的值；

②當時，若函數在上沒有零點，求的取值范圍.

（2）設函數，且，求證：當時，.

Answer 1

【答案】(1) ， (2)見解析

【解析】試題分析：（1）①由和可得在處的切線方程，代入點得；

②當，可得，討論和時函數的單調性進而研究零點即可；

（2）等價于，令，求得求最值即可證得.

試題解析：

（1）①由題意，得，

所以函數在處的切線斜率，又，

所以函數在處的切線方程，

將點代入，得．

②當，可得，因為，所以，

當時，，函數在上單調遞增，而，

所以只需，解得，從而．

當時，由，解得，

當時，，單調遞減；當時，，

單調遞增．所以函數在上有最小值為，

令，解得，所以． 綜上所述，．

（2）由題意，，

而等價于．

令，

則，且，．

令，則．

因為， 所以，所以導數在上單調遞增，

于是．

從而函數在上單調遞增，即．

即當時，．