Question

已知在銳角△ABC中，角A，B，C，的對邊分別為a，b，c，且tanB=

3 ac

a2+c2-b2

，
（1）求∠B；（2）求函數f(x)=sinx+2sinBcosx，(x∈[0，

π

2

])的最小值及單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）把余弦定理代入且tanB=

3 ac

a2+c2-b2

，整理得tanB=

3

2cosB

，進而求得sinB的值，B的值可得．
（2）把（1）中求得的sinB代入函數式，化簡整理后根據正弦函數的性質可求得f（x）的單調遞減區間．

解答：解：（1）由題意得tanB=

3

2cosB

，；
從而sinB=

3

2

，
又0＜B＜

π

2

，所以B=

π

3

（2）由（1）得f(x)=sinx+

3

cosx=2sin(x+

π

3

)
因為x∈[0，

π

2

]，所以x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
所以當x=

π

2

時，f（x）取得最小值為1；
且f（x）的單調遞減區間為[

π

6

，

π

2

]

點評：本題主要考查了余弦定理的應用．綜合了同角三角函數的關系、三角函數的性質等問題，考查了學生對問題的綜合把握．