Question

已知曲線的直角坐標方程為，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.是曲線上一點，，將點繞點逆時針旋轉角后得到點,,點的軌跡是曲線.
（Ⅰ）求曲線的極坐標方程.
（Ⅱ）求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）＝＋，（Ⅱ）[2，4]

解析試題分析：（Ⅰ）先將曲線的直角坐標方程化為極坐標方程，設M(ρ，θ)，根據知，Q（，θ)，由是曲線上一點，，將點繞點逆時針旋轉角后得到點知，P（，），代入曲線的極坐標方程即得到曲線的極坐標方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲線的極坐標方程為）＝＋，所以=＝ (1＋3sin²)，先求的取值范圍，利用不等式的性質，即可求出|OM|的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）曲線C₁的極坐標方程為＋ρ²sin²θ＝1，即＋sin²θ＝．
在極坐標系中，設M(ρ，θ)，P(ρ₁，α)，則
題設可知，ρ₁＝，α＝.                ①
因為點P在曲線C₁上，所以＋sin²α＝        ②
由①②得曲線C₂的極坐標方程為＝＋.        6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
＝ (1＋3sin²)．
因為的取值范圍是[，]，所以|OM|的取值范圍是[2，4].   10分
考點：直角坐標方程與極坐標方程互化，相關點法求曲線方程，函數的值域