Question

如圖，在C城周邊已有兩條公路l₁，l₂在點O處交匯．已知OC＝(＋)km，∠AOB＝75°，∠AOC＝45°，現規劃在公路l₁，l₂上分別選擇A，B兩處為交匯點(異于點O)直接修建一條公路通過C城．設OA＝x km，OB＝y km.

(1)求y關于x的函數關系式并指出它的定義域；
(2)試確定點A，B的位置，使△OAB的面積最小．

Answer 1

（1）y＝(x＞2)（2）4(＋1) km².

(1)因為△AOC的面積與△BOC的面積之和等于△AOB的面積，所以x(＋)sin 45°＋y(＋)·sin 30°＝xysin 75 °，
即x(＋)＋y(＋)＝xy，
所以y＝(x＞2)．
(2)△AOB的面積S＝xysin 75°＝xy＝×＝ (x－2＋＋4)≥×8＝4(＋1)．
當且僅當x＝4時取等號，此時y＝4.
故OA＝4 km，OB＝4km時，△OAB面積的最小值為4(＋1) km²