Question

已知函數在處的切線方程為.
(1)求函數的解析式;
(2)若關于的方程恰有兩個不同的實根,求實數的值;
(3)數列滿足，，求的整數部分.

Answer 1

（1）；（2）或；（3）.

試題分析：（1）由題意可得，又根據在處的切線方程為，故可從切線斜率與切點建立關于的方程組，可解得，從而；（2）由（1）及方程，參變分離后可得：，因此問題就等價于求使恰有兩個不同的，滿足的的值，令，
可得，從而當時，取極小值，當時，取極大值，因此可以大致畫出的示意圖，而問題則進一步等價于直線與的圖像恰有兩個交點，通過示意圖易得當或時滿足題意；（3）通過題意可知，需求得的值夾在哪兩個整數之間，由（1），可得，因此，而，
∴，∴，而將遞推公式可進一步變形為，從而
，
又有，從而的整數部分為.
試題解析：（1）∵，∴, 由題意在處的切線方程為，則，∴；
（2）由（1），∴即，∴，因此問題即等價于存恰有兩個不同的，使，令，則，∴在上單調遞增，在，上單調遞減，∴當時，取極小值，當時，取極大值，又當時，，當時，，因此可畫出函數的大致示意圖如下，而問題就等價于直線與的圖像恰有兩個交點，

故要存在兩個不同的滿足，則需或.
（3）由（1），∴，∴
又∵，∴，
∴
由,得,∴,
即，
∴
，又∵， 
綜上，，∴的整數部分為.