Question

如圖，已知二次函數y=x²-2x-1的圖象的頂點為A．二次函數y=ax²+bx的圖象與x軸交于原點O及另一點C，它的頂點B在函數y=x²-2x-1的圖象的對稱軸上．
（1）求點A與點C的坐標；
（2）當四邊形AOBC為菱形時，求函數y=ax²+bx的關系式．

Answer 1

分析：（1）配方可得頂點A的坐標，又可得所以點C和點O關于已知二次函數圖象的對稱軸l對稱，可得C的坐標；
（2）由題意可得

a+b=-2 4a+2b=0.

，解之可得a、b的值，可得所求．

解答：解：（1）配方可得y=x²-2x-1=（x-1）²-2，所以頂點A的坐標為（1，-2）．…（2分）
因為二次函數y=ax²+bx的圖象經過原點，且它的頂點在二次函數y=x²-2x-1圖象的對稱軸l上，
所以點C和點O關于直線l對稱，所以點C的坐標為（2，0）．…（6分）
（2）因為四邊形AOBC是菱形，所以點B和點A關于直線OC對稱，因此，點B的坐標為（1，2）…（9分）
因為二次函數y=ax²+bx的圖象經過點B（1，2），C（2，0），
所以

a+b=2 4a+2b=0

，解得

a=-2 b=4

…（13分）
所以二次函數y=ax²+bx的關系式為y=-2x²+4x．（14分）

點評：本題考查二次函數的性質，涉及數形結合的思想，屬基礎題．