Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若恒成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明：總存在，使得當(dāng)，恒有.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：

（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)， 就是切線的斜率，由點斜式寫出直線方程；

（Ⅱ）不等式可化為，因此只要求的最大值，即得結(jié)論．這可利用導(dǎo)數(shù)的知識求解．

（Ⅲ） ，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)知識求出的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，注意到，因此當(dāng)時，可取即符合題意；當(dāng)時，用放縮法，由（Ⅱ），即，因此有，由得，此時有，取，由，因此在是遞減，滿足題意．

試題解析：

的定義域為．

（Ⅰ）當(dāng)時， ， ，

， ，

所以，所求切線方程為．

（Ⅱ）因為，所以. . ，

令，則，

由得， ，

所以， ， ， ， ，

所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，

所以，所以.

（III） ，

令， ，

所以， ， ， ， ，

所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，

因為，所以，

當(dāng)時，存在，使得當(dāng)，恒有，即，

當(dāng)時，由（Ⅱ）知， ，即，

所以，

由得， ，所以.

，存在，使得當(dāng)，恒有，即.

綜合上所述，總存在，使得當(dāng)，恒有．