Question

【題目】已知函數f（x）= 的定義域為R
（1）當a=2時，求函數f（x）的值域
（2）若函數f（x）是奇函數，①求a的值；②解不等式f（3﹣m）+f（3﹣m2）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意，若a=2，則f（x）= ，

則有3x= ，

又由3x＞0，則有 ＞0，

解可得：y＜﹣1或y＞1，

即函數f（x）= 的值域為{y|y＜﹣1或y＞1}

（2）解：①、若函數f（x）是奇函數，且其定義域為R，

則有f（0）= = =0，解可得a=1，

②、由①可得，f（x）= =1﹣ ，

分析易得函數f（x）在R上增函數；

f（3﹣m）+f（3﹣m2）＞0f（3﹣m）＞﹣f（3﹣m2）f（3﹣m）＞f（m2﹣3）3﹣m＞m2﹣3m2+m﹣6＜0，

解可得：﹣3＜m＜2，

則不等式f（3﹣m）+f（3﹣m2）＞0解集為{m|﹣3＜m＜2}

【解析】（1）根據題意，可得f（x）= ，將其變形可得3x= ，結合指數函數的性質可得 ＞0，解可得y的取值范圍，即可得函數的值域；（2）①、結合題意，由奇函數的性質可得f（0）= = =0，解可得a的值；②、由①可得函數的解析式，分析可得函數f（x）在R上增函數，由此可以將不等式f（3﹣m）+f（3﹣m2）＞0轉化為m2+m﹣6＜0，解即可得答案．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的值域的相關知識，掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的，以及對函數奇偶性的性質的理解，了解在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．