Question

（選修4-4：坐標系與參數方程）
在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，單位長度保持一致建立極坐標系，已知點M的極坐標為（4

2

，

π

4

），曲線C的參數方程為

x=1+ 2 cosθ y= 2 sinθ

（θ為參數）．
（1）求直線OM的直角坐標方程；
（2）求點M到曲線C上的點的距離的最大值．

Answer 1

分析：（1）將點M的極坐標（4

2

，

π

4

）轉化為直角坐標，即可求得直線OM的直角坐標方程；
（2）將曲線C的參數方程轉化為普通方程為（x-1）²+y²=2，利用點M（4，4）在曲線C外，從而可求得點M到曲線C上的點的距離的最大值．

解答：解：（1）由點M的極坐標為（4

2

，

π

4

），設點M的直角坐標為（x₀，y₀），
則x₀=4

2

cos

π

4

=4，y₀=4

2

sin

π

4

=4，
∴點M的直角坐標為（4，4），
∴直線OM的直角坐標方程為y=x．
（2）將曲線C的參數方程

x=1+ 2 cosθ y= 2 sinθ

（θ為參數），
消掉參數θ，化成普通方程為：（x-1）²+y²=2，
圓心為A（1，0），半徑為r=

2

．
又點M在曲線C外，
∴點M到曲線C上的點的距離的最大值為|MA|+r=5+

2

．

點評：本題考查極坐標化直角坐標，考查參數方程化成普通方程，著重考查直線與圓的位置關系，考查分析、運算能力，屬于中檔題．