Question

已知拋物線C的頂點在坐標原點，以坐標軸為對稱軸，且準線方程為x=-1．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）過拋物線C焦點的直線l交拋物線于A，B兩點，如果要同時滿足：①|AB|≤8；②直線l與橢圓3x²+2y²=2有公共點，試確定直線l傾斜角的取值范圍．

Answer 1

（1）由題意可設拋物線C的方程為y²=2px，（p＞0），∵準線方程為x=-1，∴-

p

2

=-1，解得p=2．
∴拋物線C的標準方程為y²=4x；
（2）由拋物線C的標準方程y²=4x，可得焦點F（1，0）．
設直線l傾斜角為α，以下分類討論：
（i）當直線l⊥x軸時，弦長|AB|=2p=4．滿足：①|AB|≤8；
②聯立

x=1 3x2+2y2=2

，無解，因此不滿足條件直線l與橢圓3x²+2y²=2有公共點，故直線l傾斜角α≠

π

2

．
（ii）當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x-1）．（k≠0）．
聯立

y=k(x-1) y2=4x

，化為k²x²-（2k²+4）x+k²=0．∴x1+x2=

2k2+4

k2

，
∴|AB|=x₁+x₂+p=

2k2+4

k2

+2≤8，化為k²≥1．①
聯立

y=k(x-1) 3x2+2y2=2

，化為（3+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
若直線l與橢圓3x²+2y²=2有公共點，則△=16k⁴-4（3+2k²）（2k²-2）≥0，化為k²≤3，②．
聯立①②可得：1≤k²≤3，解得-

3

≤k≤-1或1≤k≤

3

．
∴

2π

3

≤α≤

3π

4

或

π

4

≤α≤

π

3

．