Question

給定橢圓： ，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個焦點為，且其短軸上的一個端點到的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
(Ⅱ)點是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個動點，過動點作直線，使得與橢圓都只有一個交點，試判斷是否垂直，并說明理由．

Answer 1

(Ⅰ)，；(Ⅱ)垂直.

解析試題分析：(Ⅰ)利用焦點坐標(biāo)求出，利用短軸上的一個端點到的距離為，求出，解出，，寫出橢圓方程，通過得到的，求出準(zhǔn)圓的半徑，直接寫出準(zhǔn)圓方程；(Ⅱ)分情況討論：①當(dāng)中有一條直線的斜率不存在時，②當(dāng)的斜率都存在時.
試題解析：(Ⅰ)由題意可知，，則，，
所以橢圓方程為.                  2分
易知準(zhǔn)圓半徑為，
則準(zhǔn)圓方程為.                     4分
(Ⅱ)①當(dāng)中有一條直線的斜率不存在時，
不妨設(shè)的斜率不存在，因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為，
當(dāng)的方程為時，此時與準(zhǔn)圓交于點，，
此時經(jīng)過點或且與橢圓只有一個公共點的直線是或，
即為或，顯然直線垂直；           6分
同理可證直線的方程為時，直線也垂直．      7分
②當(dāng)的斜率都存在時，設(shè)點，其中.
設(shè)經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為，
由消去，得.
由化簡整理得，.  因為，
所以有.                10分
設(shè)直線的斜率分別為，因為與橢圓只有一個公共點，
所以滿足方程，
所以，即垂直．                  12分
綜合①②知，垂直．                       13分
考點：1.橢圓方程；2.分類討論思想解題.