Question

（本題12分）直線l:y=kx＋1與雙曲線C:的右支交于不同的兩點A,B
（Ⅰ）求實數k的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓經過雙曲線C的右焦點F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）－2＜k＜
（Ⅱ）k＝－時，使得以線段AB為直徑的圓經過的雙曲線C的右焦點。

試題分析：（Ⅰ）由
據題意：    解得－2＜k＜
（Ⅱ）設A,B兩點的坐標分別為（x₁,y₁），（x₂,y₂）
則由①式得：
假設存在實數k，使得以線段AB為直徑的圓過雙曲線C的右焦點F（，0），則FAFB.
∴·＝0
即：（x₁－）（x₂－）＋y₁y₂＝0
（x₁－）（x₂－）＋（kx₁＋1）（kx₂＋1）＝0
（1＋k²）x₁ x₂＋（k－）（x₁＋ x₂）＋＝0
∴（1＋k²）＋（k－）·＋＝0
∴5k²＋2－6＝0
∴k＝－或k＝（－2，－）（舍去）
∴k＝－時，使得以線段AB為直徑的圓經過的雙曲線C的右焦點。
點評：中檔題，涉及直線與圓錐曲線的位置關系問題，往往要利用韋達定理。存在性問題，往往從假設存在出發，運用題中條件探尋得到存在的是否條件具備。