Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，如果acosB=bcosA，那么△ABC一定是（　　）

• A、銳角三角形
• B、鈍角三角形
• C、直角三角形
• D、等腰三角形

Answer 1

分析：根據(jù)圖形得，在直角△ACD和直角△BCD中，兩次利用正弦定理得到bsinA=asinB，又因?yàn)閎cosA=acosB，所以得到tanA=tanB，而∠A和∠B為銳角，所以∠A=∠B，所以三角形為等腰三角形．

解答：
解法1：過(guò)C作CD⊥AB，垂足為D，
在直角△ACD中，根據(jù)正弦定理得：

b

sin90°

=

CD

sinA

，
解得CD=bsinA，
在直角△BCD中，根據(jù)正弦定理得：

a

sinA

=

CD

sinB

，
解得CD=asinB，
所以bsinA=asinB，
又因?yàn)閎cosA=acosB
兩個(gè)等式聯(lián)立得：tanA=tanB，
而∠A和∠B為銳角，所以∠A=∠B，
所以三角形為等腰三角形；
解法2：∵acosB=bcosA，
∴

a

b

=

cosA

cosB

，又根據(jù)正弦定理

a

b

=

sinA

sinB

，
∴

cosA

cosB

=

sinA

sinB

，即sinBcosA-sinAcosB=0，
∴sin（B-A）=0，又A和B都為三角形的內(nèi)角，
∴A=B，
即三角形為等腰三角形．
故選D

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用正弦定理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，以及運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系的能力．