Question

【題目】(2015·新課標I卷）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的宣傳費xi和年銷售量yi=1;2…8數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.

46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中wi=，=
（1）根據散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d，哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；
（2）根據（I）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；
（3）已知這種產品的年利潤z與x ， y的關系為z=0.2y-x，根據（II）的結果回答下列問題：
（i）當年宣傳費x=90時，年銷售量及年利潤的預報值時多少？
（ii）當年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？
附：對于一組數據(u1,v1),(u2,v2)，……，(un,vn),其回歸線v=的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

Answer 1

【答案】
（1）

y=c+d適合作為年銷售y關于年宣傳費用x的回歸方程類型。

（2）

=100.6+68

（3）

46.24

【解析】(I)由散點圖及所給函數圖像即可選出適合作為擬合的函數;(II)令w=,先求出建立y關于w的線性回歸方程，即可y關于x的回歸方程;(III) : (i) 利用y關于x的回歸方程先求出年銷售量y預報值，再根據年利率z與x,y的關系為z=0.2y-x即可年利潤z的預報值，(ii) 根據(II)的結果知，
利潤z的預報值，列出關于x的方程，利用二次函數求最值的方法即可求出年利潤取最大值時的年宣傳費用.
試題解析:(I)由散點圖可以判斷，y=c+d適合作為年銷售y關于年宣傳費用x的回歸方程類型。
(II)令w=,先建立y關于w的線性回歸方程，由于
∴
∴y關于w的線性回歸方程為=100.6+68w, ∴y關于x的回歸方程為=100.6+68.
(III)(i)由(II)知，當x=49時，年銷量y的預報值,=100.6+68=576.6，=576.6x0.2-49=66.32 (ii)根據(II)的結果知，年利潤z的預報值
=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12,∴ 當==6.8，即x=46.24時，取得最大值。
【分 析】本題考查了非線性擬合及非線性回歸方程的求解與應用，是源于課本的試題類型，解答非線性擬合問題，先作出散點圖，再根據散點圖選擇合適的函數類型，設 出回歸方程，利用換元法將非線性回歸方程化為線性回歸方程，求出樣本數據換元后的值，然后根據線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數，即可 求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進行預報預測，注意計算要細心，避免計算錯誤.