Question

已知{a_n}為遞增的等比數列，且{a₁，a₃，a₅}{－10，－6，－2,0,1,3,4,16}．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)是否存在等差數列{b_n}，使得a₁b_n＋a₂b_n－1＋a₃b_n－2＋…＋a_nb₁＝2ⁿ⁺¹－n－2對一切n∈N^*都成立？若存在，求出b_n；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1) a_n＝2^n－1，         (2) b_n＝n，

（1）由等比數列遞增的性質得其首項為1，公比為4，可得到通項公式；（2）先由數列的前兩項滿足等式，求出；再寫出,錯位相減求出。即證出存在數列{b_n}，結論成立
(1)因為{a_n}是遞增的等比數列，所以數列{a_n}的公比是正數，
又{a₁，a₃，a₅}{－10，－6，－2,0,1,3,4,16}，所以a₁＝1，a₃＝4，a₅＝16，
從而q²＝＝4，q＝2，a_n＝a₁q^n－1＝2^n－1，所以數列{a_n}的通項公式為a_n＝2^n－1，
(2)假設存在滿足條件的等差數列{b_n}，其公差為d.則當n＝1時，a₁b₁＝1，
又∵a₁＝1，∴b₁＝1；
當n＝2時，a₁b₂＋a₂b₁＝4，b₂＋2b₁＝4，b₂＝2.
則d＝b₂－b₁＝1，∴b_n＝b₁＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n.
以下證明當b_n＝n時，a₁b_n＋a₂b_n－1＋…＋a_n－1b₂＋a_nb₁＝2^n＋1－n－2對一切n∈N^*都成立．
設S_n＝a₁b_n＋a₂b_n－1＋…＋a_n－1b₂＋a_nb₁，
即S_n＝1×n＋2×(n－1)＋2²×(n－2)＋2³×(n－3)＋…＋2^n－2×2＋2^n－1×1，  ①
2S_n＝2×n＋2²×(n－1)＋2³×(n－2)＋…＋2^n－1×2＋2ⁿ×1，              ②
②－①得S_n＝－n＋2＋2²＋2³＋…＋2^n－1＋2ⁿ＝－n＋＝2^n＋1－n－2，
所以存在等差數列{b_n}，b_n＝n，使得a₁b_n＋a₂b_n－1＋…＋a_n－1b₂＋a_nb₁＝2^n＋1－n－2對一切n∈N^*都成立.