Question

(Ⅰ)已知多項式f_n(x)=(1+x)(1-x)(1+x)…[1+(-1)^n-1x](n∈N^*)展開式的一次項系數為a_n，二次項系數為b_n.

(i)求數列{a_n}的通項；

(ii)求證：數列{b_n}的通項b_n=-；

(Ⅱ)已知多項式g_n(x)=(1+x)(1-2x)(1+2²x)…[1+(-2)^n-1x](n∈N^*)展開式的一次項系數為c_n，二次項系數為d_n，試求數列{c_n}和數列{d_n}的通項．

Answer 1

解：（Ⅰ）(i)a_n=1-1+1-…+(-1)^n-1

=. 

(ii)用數學歸納法證明：

(1)當n=1時，由f₁(x)=1+x,知b₁=0,

而-,等式成立. 

(2)假設當n=k時等式成立,即

b_k=-+,

那么由f_k+1(x)=f_k(x)[1+(-1)^(k+1)-1_x]

b_k+1=b_k+(-1)^ka_k

=-++(-1)^k·

=-++

=-+

=-+.

等式仍然成立. 

根據（1）和（2）知，對任意n∈N^*,

都有b_n=-. 

（Ⅱ）c_n=1-2+2²+…+(-2)^n-1

==[1-(-2)ⁿ]. 

由g₁(x)=1-x,知d₁=0.

當n≥2時,由g_n(x)=g_n-1(x)[1+(-2)^n-1x],

知d_n=d_n-1+(-2)^n-1c_n-1,

∴d_n-d_n-1=(-2)^n-1c_n-1

=(-2)^n-1·[1-(-2)^n-1]

=[(-2)^n-1-4^n-1].

∴d_n=d₁+(d₂-d₁)+(d₃-d₂)+…(d_n-d_n-1)

=0+{(-2)¹+4¹}+[(-2)²-4²]+…+[(-2)^n-1-4^n-1]

=[(-2)¹+(-2)²+…+(-2)^n-1]-[4¹+4²+…+4^n-1]

=·

=[-2-(-2)ⁿ]+（4-4ⁿ）

=[2-(-2)ⁿ-4ⁿ].

當n=1時上式也成立.

∴d_n=[2-(-2)ⁿ-4ⁿ].(n∈N^*).