Question

已知定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823132028779271.gif" style="vertical-align:middle;" />的函數(shù)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：
[1] 對任意的，總有；
[2] ；
[3] 若，，且，則有成立，
并且稱為“友誼函數(shù)”，請解答下列各題：
(1)若已知為“友誼函數(shù)”，求的值；
(2)函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由.
(3)已知為“友誼函數(shù)”，假定存在，使得且，
求證：.

Answer 1

（1）（2）為友誼函數(shù)

（1）取得，-------2分
又由，得           --------------- 3分
（2）顯然在上滿足[1] ；[2] .-------5分
若，，且，則有

故滿足條件[1]、[2]、[3]，所以為友誼函數(shù).--8分
(3)由 [3]知任給其中，且有，不妨設(shè)則必有：-----------------------------9分
所以：
所以：.-----------------------------------10分
依題意必有,
下面用反證法證明：假設(shè)，則有或
（1）若，則，這與矛盾；--12分
(2)若，則，這與矛盾；
故由上述（1）、（2）證明知假設(shè)不成立，則必有，證畢.----14分