Question

已知函數（a≠0）滿足，為偶函數，且x＝－2是函數的一個零點．又（＞0）．
（1）求函數的解析式；
（2）若關于x 的方程在上有解，求實數的取值范圍；
（3）令，求的單調區間．

Answer 1

（1）函數的解析式為； （2）實數的取值范圍為；
（3）當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
當時，的單調遞減區間為和；
單調遞增區間為和．    

試題分析：（1）由得，又為偶函數，是函數的一個零點，得出關于的方程，即可求函數的解析式；
（2）在上有解，等價于在上有解，可求實數的取值范圍；
（3）先求出的解析式，再分、兩種情況求出的單調區間．
（1）由得                         1分
∵即
又∵為偶函數　　∴　①                    2分
∵是函數的一個零點　∴　∴　②
解①②得a＝1，b＝－2
∴                                       4分
（2）在上有解，即在上有解．
∴
∵在上單調遞增
∴實數的取值范圍為                                8分
（3）即
                          9分
①當時，的對稱軸為
∵m>0 ∴ 總成立　
∴在單調遞減，在上單調遞增．    11分
②當時，的對稱軸為
若即，在單調遞減         13分
若即，在單調遞減，在上單調遞增．   15分
綜上，
當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
當時，的單調遞減區間為和；單調遞增區間為和．                                              16分