Question

（2012•湖南模擬）設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）的導(dǎo)函數(shù)f″（x），若在區(qū)間（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”，已知f(x)=

1

12

x4-

1

6

mx3-

3

2

x2，若當(dāng)實(shí)數(shù)m滿足|m|≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”，則b-a的最大值為（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用函數(shù)總為“凸函數(shù)”，即f″（x）＜0恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，討論解不等式即可．

解答：解：當(dāng)|m|≤2時(shí)，f″（x）=x²-mx-3＜0恒成立等價(jià)于當(dāng)|m|≤2時(shí)，mx＞x²-3恒成立．
當(dāng)x=0時(shí)，f″（x）=-3＜0顯然成立．
當(dāng)x＞0，x-

3

x

＜m
∵m的最小值是-2，∴x-

3

x

＜-2，從而解得0＜x＜1；
當(dāng)x＜0，x-

3

x

＞m
∵m的最大值是2，∴x-

3

x

＞2，從而解得-1＜x＜0．
綜上可得-1＜x＜1，從而（b-a）_max=1-（-1）=2
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與不等式恒成立問題的解法，關(guān)鍵是要理解題目所給信息（新定義），考查知識(shí)遷移與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．