Question

【題目】已知橢圓的左,右頂點分別為右焦點為,直線是橢圓在點處的切線.設點是橢圓上異于的動點,直線與直線的交點為,且當時, 是等腰三角形.

（Ⅰ）求橢圓的離心率;

（Ⅱ）設橢圓的長軸長等于,當點運動時,試判斷以為直徑的圓與直線的位置關系,并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）以為直徑的圓與直線相切.

解:（Ⅰ）根據題意,得直線與軸垂直,

當時, 是等腰三角形.

（Ⅱ）以為直徑的圓與直線的位置關系是相切,證明如下:

橢圓C的長軸長等于,

根據（Ⅰ）,得橢圓的標準方程為: ,

設直線的方程為: ,

則點坐標為, 中點的坐標為,

聯立方程組,消去,并整理,得

,

設點的坐標為,則

因為點,

（ⅰ）當時,點坐標為,直線的方程為,

點的坐標為,此時,以為直徑的圓與直線相切;

（ⅱ）當時,直線的斜率為,

直線的方程為: ,

,

點到直線的距離為,

,

以為直徑的圓與直線相切.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據題意，結合給定的條件，得到，然后確定其離心率即可；
（Ⅱ）設直線的方程為: ,則點坐標為, 中點的坐標為,

聯立方程組,消去,并整理,得,

分情況進行討論，結合直線與圓相切的條件進行判斷即可．

試題解析：（Ⅰ）根據題意,得直線與軸垂直,

當時, 是等腰三角形.

（Ⅱ）以為直徑的圓與直線的位置關系是相切,證明如下:

橢圓C的長軸長等于,

根據（Ⅰ）,得橢圓的標準方程為: ,

設直線的方程為: ,

則點坐標為, 中點的坐標為,

聯立方程組,消去,并整理,得

,

設點的坐標為,則

因為點,

（ⅰ）當時,點坐標為,直線的方程為,

點的坐標為,此時,以為直徑的圓與直線相切;

（ⅱ）當時,直線的斜率為,

直線的方程為: ,

,

點到直線的距離為,

,

以為直徑的圓與直線相切.