Question

已知函數f(x)=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，其中a＞0．
（1）、若x=1是y=f（x）的一個極值點，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）、若曲線y=f（x）與x軸有3個不同交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）的解析式，求出f（x）的導函數，根據x=1是f（x）的一個極值點，把x=1代入導函數中，得到的導函數值為0，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，把a的值代入到f（x）及導函數中，分別確定出f（x）和導函數得解析式，把x=2代入f（x）中求出f（2）即為切點的縱坐標，從而確定出切點坐標，把x=2代入到導函數中求出的導函數值即為切線的斜率，由切點與斜率寫出切線方程即可；
（2）令導函數小于0求出x的取值范圍即為函數的遞減區間，令導函數大于0求出x的取值范圍即為函數的遞增區間，根據函數的增減性得到函數的極大值與極小值，要使函數圖象與x軸有3個不同的交點，即要極小值小于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f(x)=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)，
∴f′（x）=3ax²-3x，
∵x=1是y=f（x）的一個極值點，∴f′（1）=3a-3=0，∴a=1，
∴f(x)=x3-

3

2

x2+1(x∈R)，f′（x）=3x²-3x，
∴f（2）=2³-

3

2

×2²+1=3，f′（2）=3×2²-3×2=6，
∴在點（2，3）處的切線方程為y-3=6（x-2），即6x-y-9=0；
（2）設f′（x）=3ax²-3x＜0，則0＜x＜

1

a

，
設f′（x）=3ax²-3x＞0，則x＜0或x＞

1

a

，
故y=f（x）在（0，

1

a

）上單調遞減，在（-∞，0）∪（

1

a

，+∞）上單調遞增，
∴當x=0時，f（x）有極大值為1，當x=

1

a

時，f（x）有極小值為1-

1

2a2

，
要使圖象與x軸有3個不同交點，則1-

1

2a2

＜0，∴0＜a＜

2

2

．

點評：此題考查了利用導數研究曲線上過某點的切線方程，利用導數研究函數的單調性，進而根據函數的增減性得到函數的極值．要求學生理解切點橫坐標對應的導函數值為切線方程的斜率，及導函數得正負決定函數的增減性．