Question

已知橢圓C的焦點在x軸上，一個頂點的坐標是（0，1），離心率等于

2 5

5

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A，B兩點，交y軸于M點，若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知b=1，

a2-b2 a2

=

2 5

5

，由此能夠導出橢圓C的方程．
（Ⅱ）方法一：設A，B，M點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

MA

=λ1

AF

，得λ₁²+10λ₁+5-5y₀²=0．由

MB

=λ2

BF

得λ₂²+10λ₂+5-5y₀²=0．λ₁，λ₂是方程x²+10x+5-5y₀²=0的兩個根，∴λ₁+λ₂=-10．
方法二：設直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x-2）．將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0．然后利用根與系數的關系證明λ₁+λ₂為定值．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
則由題意知b=1．∴

a2-b2 a2

=

2 5

5

．
即

1- 1 a2

=

2 5

5

．∴a²=5．
∴橢圓C的方程為

x2

5

+y2=1；
（Ⅱ）方法一：設A，B，M點的坐標分別為
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），
又易知F點的坐標為（2，0）．
∵

MA

=λ1

AF

，∴（x₁，y₁-y₀）=λ₁（2-x₁，-y₁）．
∴x1=

2λ1

1+λ1

，y1=

y0

1+λ1

．
將A點坐標代入到橢圓方程中得：

1

5

(

2λ1

1+λ1

)2+(

y0

1+λ1

)2=1，
去分母整理，得λ₁²+10λ₁+5-5y₀²=0．
同理，由

MB

=λ2

BF

可得：λ₂²+10λ₂+5-5y₀²=0．
∴λ₁，λ₂是方程x²+10x+5-5y₀²=0的兩個根，
∴λ₁+λ₂=-10．
方法二：設A，B，M點的坐標分別為A
（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），
又易知F點的坐標為（2，0）．
顯然直線l存在斜率，設直線l的斜率為k，
則直線l的方程是y=k（x-2）．
將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，
消去y并整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0．
∴x1+x2=

20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

．
又∵

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，
將各點坐標代入得λ1=

x1

2-x1

，λ2=

x2

2-x2

．
λ1+λ2=

x1

2-x 1

+

x2

2-x2

=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

═-10．

點評：本題是橢圓性質的綜合應用題，解題時要注意公式的合理選取和靈活運用．