Question

（本小題滿分14分）
已知四棱錐，底面為矩形，側棱，其中，為側棱上的兩個三等分點，如圖所示.

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求異面直線與所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）略（2）（3）

（Ⅰ）證明：連結交于，連結 ， 

，
，                               ………… 1分
，
，
 ，                               ………… 3分
，
.                          ………… 4分
（Ⅱ）如圖所示，以為原點，建立空間直角坐標系，        
     
則，，，，
，，,
,                               
………………………5分
,     
………………………7分
異面直線與所成角的余弦值為 .                                         ………………………8分
（Ⅲ）側棱,
,                                                ………………………9分
設的法向量為,
，并且,
，令得，,
的一個法向量為       .                                               ………………………11分
,                                                                   ………………………13分
由圖可知二面角的大小是銳角,
二面角大小的余弦值為  .                                                .…………………14分