Question

某市統計局就本地居民的月收入調查了10000人，并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖（每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在[1000，1500）單位：元）
（1）估計居民月收入在[1500，2000）的概率；
（2）根據頻率分布直方圖算出樣本數據的中位數；
（3）若將頻率視為概率，從本地隨機抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月收入在[2500，3500）的居民數X的分布和數學期望．

Answer 1

分析：（1）利用頻率是縱坐標乘以組距，可求居民月收入在[1500，2000）的概率；
（2）利用頻率是縱坐標乘以組距，中位數在[2000，2500），設中位數為x，建立方程可得結論；
（3）確定X～B（3，0.4），求出概率，可得分布列與數學期望．

解答：解：（1）依題意及頻率分布直方圖知，居民月收入在[1500，2000）的概率約為0.0004×500=0.2．    …（2分）
（2）頻率分布直方圖知，中位數在[2000，2500），設中位數為x，
則0.0002×500+0.0004×500+0.0005×（x-2000）=0.5，解得x=2400   …（6分）
（3）居民月收入在[2500，3500）的概率為（0.0005+0.0003）×500=0.4．
由題意知，X～B（3，0.4），…（8分）
因此P（X=0）=

C

0 3

×0．63=0.216，P（X=1）=

C

1 3

×0．62×0.4=0.432，
P（X=2）=

C

2 3

×0.6×0．42=0.288，P（X=3）=

C

3 3

×0．43=0.064，
故隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

…（10分）
X的數學期望為EX=0×0.216+1×0.432+2×0.0288+3×0.064=1.2．…（12分）

點評：本題主要考查了頻率分布直方圖，考查分布列與數學期望，解決頻率分布直方圖的有關問題時，要注意的是直方圖的縱坐標是的含義，要求某范圍內的頻率應該是縱坐標乘以組距，屬于基礎題．