Question

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BA＝BD＝，AD＝2，PA＝PD＝，E，F分別是棱AD，PC的中點．

（1）證明：EF∥平面PAB；

（2）若二面角P－AD－B為60°．

①證明：平面PBC⊥平面ABCD；

②求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②．

【解析】

試題分析：（1）要證明平面，可以先證明平面，利用線面平行的判定定理，即可證明平面；（2）①要證明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需證明平面即可；②由①平面，所以為直線與平面所成的角，由及已知，得為直角，即可計算的長度，在中，即計算直線與平面所成的角的正弦值．

試題解析：（1）證明：如圖，取PB中點M，連接MF，AM．

因為F為PC中點，故MF∥BC且MF＝BC．由已知有BC∥AD，BC＝AD．

又由于E為AD中點，因而MF∥AE且MF＝AE，故四邊形AMFE為平行四邊形，

所以EF∥AM．又AM平面PAB，而EF平面PAB，所以EF∥平面PAB．

（2）①證明：如圖，連接PE，BE．

因為PA＝PD，BA＝BD，而E為AD中點，故PE⊥AD，BE⊥AD，

所以∠PEB為二面角P－AD－B的平面角．

在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2．

在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1．

在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝，

從而∠PBE＝90°，即BE⊥PB．

又BC∥AD，BE⊥AD，從而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC．

又BE平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD．

②連接BF．由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB為直線EF與平面PBC所成的角．

由PB＝及已知，得∠ABP為直角．

而MB＝PB＝，可得AM＝，故EF＝．

又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝＝．

所以直線EF與平面PBC所成角的正弦值為．