Question

（本小題滿分14分）

如圖1所示，在邊長為12的正方形中，點在線段上，且，，作，分別交，于點，，作，分別交，于點，，將該正方形沿，折疊，使得與重合，構成如圖2所示的三棱柱．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求四棱錐的體積；

（Ⅲ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

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Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）證明：在正方形中，因為，

所以三棱柱的底面三角形的邊．

因為，，

所以，所以．…………………………………2分

因為四邊形為正方形，，

所以，而，

所以平面． …………………………………………………………5分

（Ⅱ）解：因為平面，

所以為四棱錐的高．

因為四邊形為直角梯形，且，，

所以梯形的面積為．

所以四棱錐的體積． ……………………9分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，，，兩兩互相垂直．以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，， 

所以，，

設平面的一個法向量為．

則    即

令，則．

所以．………………………………………………………………12分

顯然平面的一個法向量為．

設平面與平面所成銳二面角為．

則．

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．……………………14分