Question

設x＞0，求證：sinx+cosx＞1+x－x².

Answer 1

證明：設f（x）=sinx+cosx－1－x+x²，

則f′（x）=cosx－sinx－1+2x，

只要證f′（x）＞0.

設g（x）=cosx－sin ^x－1+2x，

g′（x）=－sinx－cosx+2=（1－sinx）+（1－cosx）.

∵sinx=1時cosx=0，cosx=1時sinx=0，

∴1－sinx與1－cosx不能同時為0.

∴g′（x）＞0.

∴g（x）當x＞0時是增函數.又g（x）在R上是連續函數且g（0）=0，

∴g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0.

∴f（x）在（0，+∞）上是增函數，且f（0）=0.

∴x＞0時，sinx+cosx＞1+x－x².

點評：證明f′（x）＞0又引進函數g（x），這也是通過分析得到的證明思路.