Question

定義函數(為定義域)圖像上的點到坐標原點的距離為函數的的模.若模存在最大值，則稱之為函數的長距；若模存在最小值，則稱之為函數的短距.
(1)分別判斷函數與是否存在長距與短距，若存在，請求出;
(2)求證：指數函數的短距小于1;
(3)對于任意是否存在實數，使得函數的短距不小于2且長距不大于4.若存在，請求出的取值范圍；不存在，則說明理由？

Answer 1

（1）短距為，長距不存在，短距為，長距為5；（2）證明見解析；（3）.

解析試題分析：本題屬于新定義概念，問題的實質是求函數圖象上的點到原點的距離的最大值和最小值（如有的話）,正面討論時我們把距離表示為的函數.（1）對，（當且僅當時等號成立），因此存在短距為，不存在長距，對，
，，即有最大值也有最小值，因此短距和長距都有；（2）對函數，，由于，因此短距不大于1，令，則有，故當時，存在使得 ，當時，存在使得 ，即證；（3）記，按題意條件，則有不等式對恒成立，這類不等式恒成立求參數取值范圍問題，我們可采取分離參數法，轉化為求函數的最值，對，，按分別討論，對，，可得，由此可求得的范圍.
試題解析：（1）設（當且僅當取得等號）
短距為，長距不存在．   +2分
設   +3分
    
短距為，長距為5．   +5分
（2）設    
的短距不大于1    +7分
   與單位圓存在兩個交點
當時，存在使得 
當時，存在使得 
指數函數的短距小于1;   +10分
（3）設 函數的短距不小于2且長距不大于4 即對于